Focus-balanced paraboloid for solar cookers/ja
最近、シンプルなソーラークッカーの設計について議論する機会がありました。最も基本的な設計は、対称的な放物面反射板で太陽光を調理鍋に集光し、鍋をその焦点に置いたものです。放物面の対称軸は太陽に向いているため、太陽の1日の動きに合わせて、反射板は極軸（地球の自転軸と平行な軸）を中心に毎時15度の速度で回転する必要があります。この回転軸は、反射板の焦点にある調理鍋を通るように設計されているため、反射板が回転しても鍋は静止したままです。また、太陽の季節的な南北の動きに合わせて、反射板は垂直軸を中心に傾ける必要があります。この2回目の回転は非常にゆっくりなので、数日ごとに手動で調整すれば十分でしょう。より速い回転は、時計などの機構で駆動する必要があります。 （シェフラー反射鏡とは異なり）鏡面の形状が固定されており、鏡面が垂直軸を中心に傾いても焦点が極軸上に留まるようにするには、垂直軸も焦点を通る必要がある。したがって、2つの回転軸は焦点で交差しなければならない。
時計機構はトルクをあまり発生させないため、皿の重心（または質量中心）は極軸上に位置することが望ましい。そうすれば、皿を容易に回転させることができる。皿を垂直軸を中心に傾けても重心が極軸上に留まるようにするには、垂直軸も重心を通るようにする必要がある。つまり、2つの軸は皿の重心で交わるようにしなければならない。
前述の2つの段落は、皿の重心と焦点が同一点であるべきであることを示唆している。皿の寸法は、重心が焦点と一致するように設計されなければならない。
皿の厚さが均一、つまり質量密度が均一であると仮定して、必要な寸法を計算しました。(下記参照) F を放物面の焦点距離とすると、放物面の頂点から軸に垂直な縁の平面まで軸に沿って測定した皿の深さは、1.8478 倍の F になります。皿の縁の半径は 2.7187 F です。(この数値が自然対数の底である「e」の値に近いのは単なる偶然の一致ですが、覚えやすい語呂合わせになります。) 焦点から見た縁の角半径は 72.68 度です。
シンプルなソーラークッカーには、時計で極軸を中心に回転する皿状の天板が備えられています。極軸と放物面の軸の両方に垂直な第2の軸が設けられており、これにより皿を太陽の季節的な動きに合わせて回転させることができます。これらの回転軸はどちらも皿の焦点を通ります。
皿の外側の支持具に取り付けられた固定アームが皿の焦点まで伸び、焦点にある端で調理鍋を保持する。理想的には、このアームは春分・秋分の正午に太陽を向いている放物面の対称軸と一致する。皿の端が固定アームに衝突するまでに、皿は72.68度回転できる。1時間に15度の回転速度であれば、これには約5時間かかる。したがって、この調理器はアームを動かさずに午前7時15分頃から午後4時45分頃まで使用できる。熱帯地域では、これは太陽が地平線から十分に高い位置にあるため、太陽調理が実用的な時間帯のほぼ全時間帯に相当する。春分・秋分以外の時期でも、調理器を使用できる時間帯に大きな違いはない。
放物面の寸法を計算する
反射板の寸法を計算する方法を知ることは、それを使用する上で必須ではありませんが、興味深いと感じる人もいるかもしれません。以下に、私がどのように計算したかを示します。
放物線の式は次のように表すことができます。
4fy=x2
どこfは焦点距離です。3次元の場合、放物面では次のようになります。
4fy=r2
微分すると、次のようになります。
dydr=r2f
放物面をy軸に垂直に取り囲む幅の狭い「輪」状の材料を考えると、drでr方向とdyでy方向、実際の幅は、ピタゴラスによれば次のようになる。
（dr）2+（dy）2
これは以下のように簡略化できます。
1+（dydr）2dr
式を入力するdydr幅は次のようになります。
1+r24f2dr
輪の円周は2πrしたがって、フープ内の材料の総面積は次のようになります。
2πr1+r24f2dr
したがって、輪の質量はこれに比例する。
対称性により、輪の重心はy放物面の対称軸（軸）に比例するため、焦点周りの重力モーメントは以下になります。
2πr1+r24f2（f−y）dr
（引き算の意味は、今回の目的においては重要ではありません。）
代わりにyモーメントは以下に比例する：
2πr1+r24f2（f−r24f）dr
並べ替えると、次のようになります。
2πr⋅12f4f2+r2⋅14f（4f2−r2）dr
我々が関心を持っているのは、これらの量の合計がゼロになる条件を見つけることだけなので、ゼロでない定数因子はすべて無視できる。fは定数であり、dr幅が等しい一連の輪を考えると、これは定数になります。したがって、輪の重力によるモーメントは、次の式に比例します。
r4f2+r2（4f2−r2）
書き込みkのために4f2すると、これは単純に次のようになります。
rk+r2（k−r2）
計算を行うコンピュータプログラムは、0から始めて等間隔のrの値に対して、このような式を多数合計する必要があります。最初は、r^2がkより小さいとき、式は正の値を取り、合計はますます正になります。しかし、rが増加するにつれて、r^2がkより大きくなる点に達します。そこから先は、式は負になり、合計は減少します。最終的に、合計は0を横切って負になります。この交点におけるrの値が、私たちが求めたい値です。
以下は、面倒な作業をすべて自動で行うために私が作成したQBasic言語のプログラムです。
プログラムにおけるqの式は、私が上で導出したものと同じです。プログラムはこれらのqを多数加算して合計値tを求め、tが負の値になった時点で停止します。その後、最後のループで補間を行い、精度を大幅に向上させ、dとaの値を計算して結果を出力します。
このプログラムが示す結果は、カナダのブリティッシュコロンビア大学数学科のロバート・イスラエル博士によって、有効数字10桁の精度で確認されました。彼は全く異なる方法で計算を行いました。彼の結果と私の結果が一致したという事実は、私たちの両方の方法が論理的に正しいことを裏付けています。この点において、イスラエル博士に感謝いたします。
有効数字10桁で、リムの半径と焦点距離の比は2.718683325です。焦点距離を単位とした皿の深さは1.847809755です。焦点から見たリムの角度半径は、約72.68013409度です。
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DOwenWilliams 2010年7月3日 18:03 (UTC) デビッド・ウィリアムズ
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| 著者 | デビッド・ウィリアムズ |
|---|---|
| ライセンス | CC-BY-SA-3.0 |
| 引用元 | David Williams (2010–2025). 「太陽熱調理器用焦点バランス放物面」 . Appropedia . 2026年7月19日取得。 |