Focus-balanced paraboloid for solar cookers/ja
最近、私はシンプルなソーラークッカーの設計について議論しました。最も分かりやすいのは、対称的な放物面反射皿で、放物面の焦点に位置する調理鍋に太陽光を集光します。放物面の対称軸は太陽に向けられているため、太陽の日々の空の動きに合わせて、皿は極軸（地球の自転軸と平行な軸）を中心に時速15度の速度で回転する必要があります。この回転軸は調理鍋を通り、皿の焦点を通るようにする必要があります。そうすることで、皿が回転しても鍋は静止したままになります。また、太陽の季節的な南北移動に合わせて、皿は垂直軸を中心に傾斜させる必要があります。この2回目の回転は非常にゆっくりとしており、数日ごとに皿を手動で調整することで実現できます。より高速な回転は、時計などの何らかの機構によって駆動する必要があります。皿が（シェフラー反射鏡とは異なり）固定形状で、皿を垂直軸を中心に傾けても焦点が極軸上に維持されるようにする場合、垂直軸も焦点を通らなければなりません。したがって、2つの回転軸は焦点で交差する必要があります。
時計機構は大きなトルクを発生しないため、皿の重心（または質量の中心）は極軸上に配置するのが理想的です。そうすることで、皿は容易に回転します。皿を垂直軸を中心に傾けても重心が極軸上に留まるようにするには、垂直軸も重心を通る必要があります。2つの軸は皿の重心で交差する必要があります。
前の2つの段落は、皿の重心と焦点が同一点にあるべきであることを示唆しています。皿の寸法は、重心と焦点が一致するように設計されていなければなりません。
皿が均一な厚さ、つまり質量密度の材料で作られていると仮定し、必要な寸法を計算しました（下記参照）。放物面の焦点距離をFとすると、放物面の頂点から軸に垂直な縁の平面まで測った皿の深さは、Fの1.8478倍であることがわかります。皿の縁の半径は2.7187 Fです（この数値が自然対数の底である「e」の値に近いのは単なる偶然ですが、記憶術としては便利です）。焦点から見た縁の角半径は72.68度です。
シンプルなソーラークッカーは、このような皿を備え、極軸を中心に時計回りに回転します。太陽の季節的な動きに合わせて皿を回転させるために、極軸と放物面の軸の両方に垂直な第二の軸が設けられます。どちらの回転軸も皿の焦点を通ります。
皿の外部にある何らかの支持部に取り付けられた固定アームが、皿の焦点まで伸びて、その先端、焦点で調理鍋を保持する。理想的には、このアームは、春分・秋分の日に放物面が太陽を指しているときに、放物面の対称軸と一致する。皿の端が固定アームに衝突する前に、皿は 72.68 度回転することができる。1 時間あたり 15 度で回転すると、これには約 5 時間かかる。したがって、調理器は、アームを動かさずに午前 7 時 15 分から午後 4 時 45 分まで使用できる。熱帯の緯度では、これは、太陽調理が実行可能なほど太陽が地平線より十分高い位置にある、ほぼ一日全体に相当します。春分・秋分以外の時期には、調理器を使用できる期間にほとんど違いはありません。
放物面の寸法の計算
反射鏡の寸法を計算する方法を知っていることは、反射鏡を使う上で必須ではありませんが、興味を持つ人もいるかもしれません。私が計算した方法は以下の通りです。
放物線の方程式は次のように表すことができます。
4fy＝×2
どこfは焦点距離です。3次元の放物面の場合、これは次のようになります。
4fy＝r2
微分すると次のようになります。
dydr＝r2f
y軸に垂直な放物面の周りを回る幅の狭い「輪」状の物質を考えてみましょう。drの中でr方向とdyの中でy方向によって、その実際の幅はピタゴラスによれば次のようになります。
（dr）2+（dy）2
これを簡単に説明すると次のようになります。
1+（dydr）2dr
の表現を入れるとdydr、幅は次のようになります。
1+r24f2dr
フープの円周は2πrしたがって、フープ内の材料の合計面積は次のようになります。
2πr1+r24f2dr
したがって、フープの質量はこれに比例します。
対称性により、輪の重心はy放物面の軸（対称軸）に比例するので、焦点の周りのその重量モーメントは次の式に比例します。
2πr1+r24f2（f−y）dr
(減算の意味は、私たちの目的には重要ではありません。)
代用yモーメントは次のように比例します。
2πr1+r24f2（f−r24f）dr
整理すると次のようになります。
2πr⋅12f4f2+r2⋅14f（4f2−r2）dr
私たちが関心があるのは、これらの量の多くの合計がゼロになる条件を見つけることだけなので、ゼロ以外の定数係数はすべて無視できます。fは定数であり、dr等しい幅の輪の集合を考えると、これは定数となる。したがって、輪の重量モーメントは次の式に比例する。
r4f2+r2（4f2−r2）
書き込みけのために4f2、これは単純に次のようになります。
rけ+r2（け−r2）
この計算を行うコンピュータプログラムは、ゼロから始めて、rの値が等間隔になるように、このような式を多数合計する必要があります。最初、r^2がkより小さい場合、式は正の値を持ち、合計は正の方向に徐々に増加します。しかし、rが増加すると、r^2がkより大きくなる点に達します。そこからは式は負の値を持ち、合計は減少します。最終的に、合計はゼロと交差し、負の値になります。この交差点におけるrの値こそが、私たちが求めているものです。
大変な作業をすべて実行するために私が作成した、QBasic で記述されたプログラムは次のとおりです。
プログラム内のqの式は、上で導出したものと同じです。プログラムはこれらのqを多数加算して合計tを求め、tが負になった時点で停止します。そして、最後のフープで補間を行い、精度を大幅に向上させます。その後、dとaの値を計算し、結果を出力します。
このプログラムが示す結果は、カナダのブリティッシュコロンビア大学数学科のロバート・イスラエル博士によって、有効桁数10桁の精度で確認されました。彼は全く異なる方法で計算を行いましたが、彼の結果と私の結果が一致したことは、両方の方法が論理的に正しいことを裏付けています。イスラエル博士には深く感謝いたします。
有効数字10桁で、リムの半径と焦点距離の比は2.718683325です。皿の深さは、焦点距離を単位として1.847809755です。焦点から見たリムの角度半径は72.68013409度です。おおよそです。
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DOwenWilliams 2010年7月3日 18:03 (UTC) デビッド・ウィリアムズ
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| 著者 | デビッド・ウィリアムズ |
|---|---|
| ライセンス | CC-BY-SA-3.0 |
| 位置 | {{{座標}}} |
| 引用元 | デイビッド・ウィリアムズ(2010–2025). 「ソーラークッカー用焦点バランス型放物面」 . Appropedia . 2025年10月5日閲覧. |