Focus-balanced paraboloid for solar cookers/nl
Onlangs was ik betrokken bij een discussie over ontwerpen voor een eenvoudige zonnekoker. De voor de hand liggende heeft een symmetrische parabolische reflecterende schaal die zonlicht op de kookpot richt die zich in het brandpunt van de paraboloïde bevindt. De symmetrieas van de paraboloïde is gericht op de zon, dus de schaal moet rond een poolas (een parallel aan de rotatieas van de aarde) draaien met een snelheid van 15 graden per uur om de dagelijkse beweging van de zon over de hemel te volgen. Deze rotatieas moet door de kookpot gaan, in het brandpunt van de schaal, zodat de pot stil blijft staan terwijl de schaal draait. De schaal moet ook kantelbaar zijn rond een loodrechte as, om de seizoensgebonden noord-zuidbewegingen van de zon te volgen. Deze tweede rotatie is erg langzaam en kan worden gedaan door de schaal om de paar dagen handmatig opnieuw aan te passen. De snellere rotatie moet worden aangestuurd door een mechanisme, zoals een klok. Als de schotel een vaste vorm moet hebben (in tegenstelling tot een Scheffler-reflector) en de focus op de poolas moet blijven terwijl de schotel om de loodrechte as wordt gekanteld, moet de loodrechte as ook door de focus gaan. De twee rotatie-assen moeten elkaar dus bij de focus kruisen.
Uurwerkmechanismen produceren niet veel koppel, dus bij voorkeur moet het zwaartepunt (of massamiddelpunt) van de schotel op de poolas liggen, zodat deze gemakkelijk gedraaid kan worden. Om het zwaartepunt op de poolas te houden terwijl de schotel om de loodrechte as wordt gekanteld, moet de loodrechte as ook door het zwaartepunt gaan. De twee assen moeten elkaar kruisen in het zwaartepunt van de schotel.
De twee voorgaande paragrafen impliceren dat het zwaartepunt van de schotel en de focus ervan hetzelfde punt moeten zijn. De afmetingen van de schotel moeten zodanig zijn dat het zwaartepunt samenvalt met de focus ervan.
Ervan uitgaande dat de schotel is gemaakt van materiaal met een uniforme dikte, d.w.z. een uniforme massadichtheid, heb ik de vereiste afmetingen berekend. (Zie hieronder.) Door F te gebruiken om de brandpuntsafstand van de paraboloïde aan te duiden, blijkt dat de diepte van de schotel, gemeten langs de as van de paraboloïde vanaf de top tot het vlak van de rand, dat loodrecht op de as staat, 1,8478 keer F is. De straal van de rand van de schotel is 2,7187 F. (De nabijheid van dit getal tot de waarde van "e", de basis van natuurlijke logaritmen, is slechts een toevallige samenloop van omstandigheden, maar het is wel een handig geheugensteuntje.) De hoekige straal van de rand, gezien vanaf het brandpunt, is 72,68 graden.
Een eenvoudige zonnekoker zou zo'n schotel hebben, die door een klok om een poolas wordt gedraaid. Een tweede as, loodrecht op zowel de poolas als de as van de paraboloïde, zou worden voorzien om de schotel te kunnen draaien om de seizoensgebonden bewegingen van de zon te volgen. Beide rotatieassen zouden door het brandpunt van de schotel gaan.
Een stationaire arm, bevestigd aan een steun buiten de schotel, zou in de schotel reiken tot aan het brandpunt en zou de kookpot aan het uiteinde vasthouden, op het brandpunt. Idealiter zou deze arm samenvallen met de symmetrieas van de paraboloïde wanneer deze op een equinox om 12 uur 's middags naar de zon wijst. De schotel zou 72,68 graden kunnen draaien voordat de rand van de schotel botst met de vaste arm. Bij 15 graden per uur zou dit bijna vijf uur duren. De kookplaat zou daarom van ongeveer 7:15 uur tot 16:45 uur gebruikt kunnen worden zonder de arm te bewegen. Op tropische breedtegraden komt dit overeen met min of meer het hele deel van de dag dat de zon hoog genoeg boven de horizon staat om zonnekoken mogelijk te maken. Op andere tijden van het jaar dan de equinoxen zou er weinig verschil zijn in de periode waarin de kookplaat gebruikt kan worden.
De afmetingen van de paraboloïde berekenen
Weten hoe je de afmetingen van de reflector moet berekenen is niet essentieel om het te gebruiken, maar sommige mensen vinden het misschien interessant. Dit is hoe ik de berekening heb gedaan:
De vergelijking van een parabool kan als volgt worden geschreven:
waarbij f de brandpuntsafstand is. In drie dimensies wordt dit voor een paraboloïde:
Als we differentiëren, krijgen we:
Als we een smalle "hoepel" van materiaal beschouwen die rond de paraboloïde loodrecht op de y-as loopt, met breedte dr in de r-richting en dy in de y-richting, dan is de werkelijke breedte, volgens Pythagoras:
(SQR staat voor vierkantswortel.)
Dit komt neer op:
Als we de uitdrukking voor dy/dr invoeren, wordt de breedte:
De omtrek van de ring is 2.pi.r, dus het totale oppervlak van het materiaal in de ring is:
De massa van de hoepel is hier dus evenredig mee.
Vanwege de symmetrie moet het massamiddelpunt van de hoepel op de y-as (symmetrieas) van de paraboloïde liggen, zodat het moment van het gewicht om het brandpunt evenredig is met:
(De betekenis van de aftrekking is voor ons doel niet van belang.)
Als we y vervangen, is het moment evenredig met:
Als we het opnieuw ordenen, wordt dit:
Omdat we alleen geïnteresseerd zijn in het vinden van de conditie waarbij de som van veel van deze hoeveelheden op nul uitkomt, kunnen we alle niet-nul constante factoren negeren. f is een constante en dr zal een constante zijn als we een set hoepels van gelijke breedte beschouwen. Dus het moment van het gewicht van de hoepel is evenredig met:
Als we k voor 4f ^ 2 schrijven, wordt dit eenvoudig:
Een computerprogramma om de berekening uit te voeren moet een groot aantal uitdrukkingen optellen zoals deze, voor gelijk verdeelde waarden van r, beginnend bij nul. Aanvankelijk, wanneer r^2 kleiner is dan k, heeft de uitdrukking een positieve waarde en wordt de som steeds positiever. Echter, naarmate r toeneemt, wordt een punt bereikt waarop r^2 groter wordt dan k. Vanaf dat moment is de uitdrukking negatief en neemt de som af. Uiteindelijk kruist de som nul en wordt negatief. De waarde van r op dit kruispunt is wat we willen vinden.
Hier is het programma dat ik heb geschreven om al het zware werk te doen, geschreven in QBasic:
De uitdrukking voor q in het programma is dezelfde als die ik hierboven heb afgeleid. Het programma telt een hoop van deze q's bij elkaar op tot een totaal, t, en stopt wanneer t negatief wordt. Het programma voert dan een interpolatie uit in de laatste ring, wat de precisie enorm verbetert, en berekent vervolgens de waarden van d en a, en print de antwoorden uit.
De resultaten die dit programma geeft, werden bevestigd, tot op tien significante cijfers nauwkeurig, door Dr. Robert Israel, van de afdeling Wiskunde, University of British Columbia, Canada. Hij deed de berekening op een heel andere manier. Het feit dat zijn resultaat en het mijne overeenkomen, bevestigt dat beide methoden logisch correct zijn. Ik ben Dr. Israel hiervoor dank verschuldigd.
Tot tien significante cijfers is de verhouding van de straal van de rand tot de brandpuntsafstand 2,718683325. De diepte van de schotel, in eenheden van de brandpuntsafstand, is 1,847809755. De hoekige straal van de rand, zoals gezien vanaf de focus, is 72,68013409 graden. Bij benadering.
Stuur mij een e-mail als u vragen heeft:
williamsdavid65 bij jeemale dot kom
DOwenWilliams 18:03, 3 juli 2010 (UTC) David Williams
