Chcete-li určit, jak lze určitý soubor dat modelovat jako matematickou křivku, lze použít přístup křivky. Tento přístup se často používá u experimentálních dat k nalezení funkce, která nejlépe reprezentuje pozorovaná data. Nejlepší přizpůsobení křivky datům je kvantitativně definováno jako minimalizace rozdílu mezi daty a křivkou.
Teorie
Prokládání křivek je založeno na základním předpokladu, že pozorovaná data jsou řízena nějakým procesem, který lze modelovat jako matematickou funkci. Malé rozdíly, které vznikají mezi pozorováními a předpokládanými hodnotami, jsou pak způsobeny chybami měření a nekontrolovanými ovlivňujícími faktory. Řídicí matematická funkce může být lineární nebo nelineární a lze použít různé přístupy k prokládání křivek v závislosti na typu funkce přizpůsobené datům.
Hlavní teorie za daty proložení křivky se točí kolem minimalizace součtu čtverců reziduí (kde zbytek proložení křivky pro každý datový bod je rozdíl mezi pozorovaným datovým bodem a předpokládanou hodnotou, jak je dáno funkce křivky). Tento přístup je známý jako metoda nejmenších čtvercůW. dobrou shodnostW lze měřit v několika kapacitách, včetně běžných metod < i=7>koeficient determinaceW a test chí-kvadrát W.[1]
Pro lineární funkce je řešením pro nejlépe přizpůsobenou křivku definované uzavřené řešení, které lze nasměrovat k řešení. U nelineárních funkcí však řešení obvykle potřebuje konvergovat pomocí iterativního přístupu. Pro lineární metody nejmenších čtvercůW se funkce považuje za lineární, pokud její koeficienty (parametry B1, B2, B3 ...) jsou lineární (tj. funkce je polynomická rovnice).
- y=B1+B2∗X+B3∗X2{\displaystyle y=B_{1}+B_{2}*x+B_{3}*x^{2}}
U nelineárních funkcí se používá iterativní nelineární přístup nejmenších čtvercůW konvergovat k nejvhodnější křivce. Bylo formulováno několik algoritmů, které pomáhají při konvergování řešení k nelineárnímu prokládání křivek. Jedním z nejpopulárnějších algoritmů je Levenberg-Marquardtův algoritmusW, který používá Gauss-Newtonův algoritmusW a gradient funkce ke konvergování k optimálnímu řešení.[2 ]
Existuje mnoho internetových zdrojů dokumentujících odvození těchto algoritmů a s nimi spojenou matematiku. Různé algoritmy se liší ve složitosti a rychlosti výpočtu/konvergence. Vzhledem k tomu, že složitá matematika je podrobně popsána na internetu, tento článek se zaměří spíše na uživatelsky přívětivé softwarové metody prokládání křivek. Další informace o teorii prokládání křivek a podrobné články o různých metodách dosažení nejlepšího přizpůsobení naleznete v části Další čtení ve spodní části této stránky.
Programy pro přizpůsobení křivek
S příchodem softwaru pro počítačovou numerickou simulaci se prokládání křivek zřídka provádí bez počítačů kvůli snadnosti a rychlosti, které lze dosáhnout pomocí počítačových výpočtů. Existuje mnoho dostupných možností pro počítačové křivky dat. Tento článek se stručně podívá na několik možností, z nichž každá je vhodná pro různé aplikace a uživatele.
Microsoft Excel
- Microsoft ExcelW je běžně používaný tabulkový procesor, který nabízí možnost provádět základní funkce prokládání křivek.
- Pomocí aplikace Excel lze přizpůsobit následující standardní typy funkcí: exponenciální, lineární, logaritmická, polynomická a mocnina.
- Chcete-li použít funkci proložení standardní křivky, vykreslete data pomocí rozptylového grafuW a vpravo -klikněte na datové body a vyberte možnost 'Přidat trendovou linii'.
- Excel je program, který umožňuje prokládání křivek.
- Pro pokročilejší prokládání křivek, včetně nestandardní funkce prokládání, lze použít funkci řešitele v Excelu. Konkrétní pokyny pro pokročilejší funkce řešení v aplikaci Excel naleznete v tomto souboru PDF.
OriginLab Origin
- Origin je tabulkový procesor a program pro analýzu dat, který s oblibou používá vědecká komunita.
- Origin nabízí výkonné možnosti analýzy dat včetně pokročilé funkce prokládání křivek. Program má přibližně 200 vestavěných funkcí, které lze přizpůsobit, a nabízí možnost snadno vytvářet nové uživatelsky definované funkce, které se hodí.
- Program nabízí výkonné nelineární přizpůsobení, globální variabilní přizpůsobení a snadné vizuální rozhraní.
- Chcete-li použít funkci prokládání křivek, vytvořte graf dat a vyberte možnost proložení křivky z nabídky 'Analýza' Jídelní lístek.
MATLAB společnosti MathWork
- MATLABW je numerická výpočetní platforma, která je široce používána ve vědeckých a technických aplikacích. MATLAB je extrémně výkonný a flexibilní softwarový program, nicméně vyžaduje určité školení a znalosti programování.
- MATLAB umožňuje uživateli psát vlastní skripty a programy a nabízí řadu vestavěných funkcí.
- Pokud jde o prokládání křivek, lze vytvořit vlastní program nebo použít vestavěnou sadu nástrojů pro prokládání křivek.
- Bezplatný doplňkový nástroj s názvem EzyFit je výkonný nástroj, který zjednodušuje proces prokládání křivek.[3]
- MATLAB je nejvýkonnější program ze tří uvedených, ale jeho složitost a cena mohou některé uživatele odradit.
SciLab
- Scilab je open source, multiplatformní numerický výpočetní balík a vysokoúrovňový numericky orientovaný programovací jazyk. Může být použit pro zpracování signálu, statistickou analýzu, vylepšení obrazu, simulace dynamiky tekutin, numerickou optimalizaci a modelování a simulaci explicitních a implicitních dynamických systémů. Kód MATLABu, který je syntaxí podobný, lze převést na Scilab. Scilab je jednou z několika open source alternativ k MATLABu.
- Stáhněte zde
fitteia.com Online uživatelsky definované n-dimensions funkční lícování
- Žádné poplatky, reklamy nebo žádosti o dary
- Uživatelský účet, sdílení projektu
- Funkce přizpůsobení n-rozměrů, vykreslování dat, psaní zpráv, programovatelný kalkulátor
- Zveřejnění připravených pozemků
- Profesionálně orientované rozhraní
- Přístupné z jakéhokoli prohlížeče
- Vyzkoušejte to zde
- Další informace[4]
Zunzun.com online tvarování křivek a povrchu
- Žádné poplatky, reklamy nebo žádosti o dary.
- Provádí 2D aproximaci křivek i 3D aproximaci povrchu s datovými histogramy, histogramy chyb, grafy chyb, grafy křivek, grafy povrchů, kontury a výstup souboru PDF.
- Automaticky generuje výstup zdrojového kódu v počítačových jazycích C++, Java, C#, Python, VBA, SCILAB a MATLAB.
- Přizpůsobuje data desítkám tisíc rovnic, přičemž k dispozici je několik stovek pojmenovaných standardních rovnic. Uživatelé mohou také definovat své vlastní funkce.
- Online zdroj je volně dostupný 24 hodin denně z jakéhokoli počítače na světě s připojením k internetu. Odkaz je http://zunzun.com/
- Skutečný zdrojový kód přizpůsobený webu je k dispozici pod liberální licencí ve stylu BSD v úložišti zdrojového kódu na adrese https://bitbucket.org/zunzuncode/zunzunsite3
Zbytky
Zbytek křivky proložené pro každý datový bod je rozdílem mezi pozorovaným datovým bodem a předpokládanou hodnotou, jak je dána funkcí křivky. Vynesení reziduí poskytuje vizuální metodu ověření proložení křivky. Jakékoli trendy pozorované v grafu reziduí mohou indikovat přítomnost nenáhodné chyby, nezapočítaného trendu nebo špatného přizpůsobení modelu.
Zdroje a další čtení
- ↑ Gerald, C., Wheatley, P. "Aplikovaná numerická analýza (čtvrté vydání)", (1989) Addison-Wesley Publishing Co.
- ↑ Press, W. H. Numerical Recipes in C (2. vydání)" (1992) Cambridge University Press
- ↑ Moisy, F., "EzyFit"; (2009) Dostupné na http://www.fast.u-psud.fr/ezyfit/
- ↑ Umění přizpůsobení modelu experimentálním výsledkům,Pedro J Sebastião 2014 Eur. J. Phys. 35 015017 doi:10.1088/0143-0807/35/1/015017
Doporučená četba pro další hloubkovou diskusi o prokládání křivek
Curve Fitting Easy od Marka Ledvije
Prokládání křivek v aplikaci Microsoft Excel od Williama Lee
Prokládání křivek, datové modelování, interpolace, extrapolace od Mathcom Solutions
Nastavení křivky v MatLab (Video) od Jake Blancharda
Online data vejdou do vašeho prohlížeče od LelandStanfordJunior
"Umění přizpůsobení modelu experimentálním výsledkům" od Pedra José Sebastião